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高中数学第四章数系的扩充与复数的引入4.2复数的四则运算复数相等定义的活用素材北师大版选修1_2

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复数相等定义的活用
活用复数相等的定义,即活用 a ? bi ? c ? di ? a ? c,b ? d ,可解决一系列与复数有

关的问题.

一、复数的运算问题

例 1(06 安徽卷理) 复数 1 ? 3i 等于( ) 3?i

(A) i (B) ? i (C) 3 ? i (D) 3 ? i



设 1? 3i ? z ? x ? yi , 则 1 ? 3i ? ( 3 ? i)( x ? yi) , 得

3 ?i

? 1 ? 3i ? ( 3x ? y) ? (?x ? 3y)i , 根 据 复 数 相 等 的 定 义 得 ?

3x ? y ? 1 ,解得

?? x ? 3y ? 3

?x

? ?

y

? ?

0 1

,∴

z

?

i

,故选(A).

点拨:通过设所求的复数,建立两个复数相等,从而根据复数相等的定义建立二元一

次方程组求解.

二、复数的参数求解

例 2 (06 湖北卷理) 设 x, y 为实数,且 x ? y ? 5 ,则 x ? y ? . 1? i 1? 2i 1? 3i



由 条 件 得 x(1 ? i) ? y(1 ? 2i) ? 5(1 ? 3i) , 从 而

(1 ? i)(1 ? i) (1 ? 2i)(1 ? 2i) (1 ? 3i)(1 ? 3i)

x(1 ? i) ? y(1 ? 2i) ? 5(1 ? 3i) ,即 (5x ? 2y) ? (5x ? 4y)i ? 5 ?15i ,根据复数相等的定

2

5

10

义得 ???55xx??42yy??155,解得 ???xy???51,∴ x ? y ? 4 .

点拨:经过运算后,转化为两个复数相等,从而根据复数相等的定义建立二元一次方

程组求解.

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例 3(06 浙 江 卷 理 ) 已 知 m ? 1 ? ni , 其 中 m, n 是 实 数 , i 为 虚 数 单 位 , 则 1? i
m ? ni ?( )

(A)1 ? 2i (B)1 ? 2i (C) 2 ? i (D) 2 ? i

解 由条件得 m ? (1? i)(1? ni) ,从而 m ? (1? n) ? (1? n)i ,根据复数相等的定义得

?m

? ?

0

?1? ?1?

n n

,解得

?m

? ?

n

? ?

2 1

,∴

m

?

ni

?

2

?

i

.

三、解复数方程问题

例 4 (06 上海卷理) 若复数 z 同时满足 z ? z ? 2i ,z ? iz( i 为虚数单位),则 z ? .

解 设 z ? x ? yi (x, y ? R) , 把 z ? iz 代 入 z ? z ? 2i 得 z ? iz ? 2i , 从 而

(1 ?

i)(x

?

yi)

?

2i

,即

(x

?

y)

?

(?x

?

y)i

?

2i

,根据复数相等的定义得

? x?y?0 ??? x ? y ? 2



解得 ???xy???11,∴ z ? ?1? i .

点拨:设未知复数为 z ? x ? yi (x, y ? R) 后,即可与已知复数同等地进行加减乘除运

算,既把解复数方程转化为复数运算,又转化为两个复数相等,从而根据复数相等的定义建

立二元一次方程组求解.

例 5 (06 广东卷)若复数 z 满足方程 z 2 ? 2 ? 0 ,则 z3 ? ( )

(A) ? 2 2 (B) ? 2 2 (C) ? 2 2 i (D) ? 2 2 i

解 设 z ? x ? yi (x, y ? R) , 则 由 方 程 z 2 ? 2 ? 0 得 (x ? yi)2 ? 2 ? 0 , 得

(x2

?

y2

?

2)

?

2xyi

?

0

,根据复数相等的定义得

?x ?

2

?

? y2 2xy

? ?

2 0

?

0

,解得

? ? ?

y

x?0 ?? 2

,∴

z ? ? 2i , z3 ? z 2 ? z ? ?2z ? ?2 2i ,故选(D).

点 拨 : 若 利 用 条 件 z 2 ? ?2 ? 0 , 则 可 知 z 必 为 纯 虚 数 , 从 而 设 未 知 复 数 为

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z ? yi ( y ? R, y ? 0) ,即可简化运算.




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